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面试常问排序算法之堆排序

预备知识

堆排序

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法,堆排序是一种选择排序,它的最坏,最好,平均时间复杂度均为O(nlogn),它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。

堆是具有以下性质的完全二叉树:每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值,称为大顶堆;或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值,称为小顶堆。如下图:

面试常问排序算法之堆排序

 

 

同时,我们对堆中的结点按层进行编号,将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子:

面试常问排序算法之堆排序

 

 

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构,我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是:

大顶堆:arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2] 
小顶堆:arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2] 

 

ok,了解了这些定义。接下来,我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤:

堆排序基本思想及步骤

堆排序的基本思想是:将待排序序列构造成一个大顶堆,此时,整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换,此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆,这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行,便能得到一个有序序列了

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆(一般升序采用大顶堆,降序采用小顶堆)。

1.假设给定无序序列结构如下

面试常问排序算法之堆排序

 

 

2.此时我们从最后一个非叶子结点开始(叶结点自然不用调整,第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1,也就是下面的6结点),从左至右,从下至上进行调整。

面试常问排序算法之堆排序

 

 

3.找到第二个非叶节点4,由于[4,9,8]中9元素最大,4和9交换。

面试常问排序算法之堆排序

 

 

这时,交换导致了子根[4,5,6]结构混乱,继续调整,[4,5,6]中6最大,交换4和6。

面试常问排序算法之堆排序

 

 

此时,我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换,使末尾元素最大。然后继续调整堆,再将堆顶元素与末尾元素交换,得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

面试常问排序算法之堆排序

 

 

b.重新调整结构,使其继续满足堆定义

面试常问排序算法之堆排序

 

 

c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换,得到第二大元素8.

面试常问排序算法之堆排序

 

 

后续过程,继续进行调整,交换,如此反复进行,最终使得整个序列有序

面试常问排序算法之堆排序

 

 

再简单总结下堆排序的基本思路:

  1. 将无需序列构建成一个堆,根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
  2. 将堆顶元素与末尾元素交换,将最大元素"沉"到数组末端;
  3. 重新调整结构,使其满足堆定义,然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素,反复执行调整+交换步骤,直到整个序列有序。

 

代码实现

package sortdemo;
import java.util.Arrays;
/**
* Created by chengxiao on 2016/12/17.
* 堆排序demo
*/
public class HeapSort {
 public static void main(String []args){
 int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
 sort(arr);
 System.out.println(Arrays.toString(arr));
 }
 public static void sort(int []arr){
 //1.构建大顶堆
 for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){
 //从第一个非叶子结点从下至上,从右至左调整结构
 adjustHeap(arr,i,arr.length);
 }
 //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素
 for(int j=arr.length-1;j>0;j--){
 swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换
 adjustHeap(arr,0,j);//重新对堆进行调整
 }
 }
 /**
 * 调整大顶堆(仅是调整过程,建立在大顶堆已构建的基础上)
 * @param arr
 * @param i
 * @param length
 */
 public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){
 int temp = arr[i];//先取出当前元素i
 for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){
 //从i结点的左子结点开始,也就是2i+1处开始
 if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){
 //如果左子结点小于右子结点,k指向右子结点
 k++;
 }
 if(arr[k] >temp){
 //如果子节点大于父节点,将子节点值赋给父节点(不用进行交换)
 arr[i] = arr[k];
 i = k;
 }else{
 break;
 }
 }
 arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置
 }
 /**
 * 交换元素
 * @param arr
 * @param a
 * @param b
 */
 public static void swap(int []arr,int a ,int b){
 int temp=arr[a];
 arr[a] = arr[b];
 arr[b] = temp;
 }
}

 

结果

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

最后

堆排序是一种选择排序,整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为O(n),在交换并重建堆的过程中,需交换n-1次,而重建堆的过程中,根据完全二叉树的性质,[log2(n-1),log2(n-2)…1]逐步递减,近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。

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